Saturday, December 17, 2016

Beberapa Tips Mengerjakan Soal Matematika (Berbobot) [Part 1]

"menghafal/mengetahui rumus belum menjamin seorang tersebut dapat mengerjakan/menyelesaikan soal matematika"

Yahh.. Karena dalam beberapa soal matematika (menuju ke soal tahap olimpiade) yang dibutuhkan bukan hanya sekedar tahu rumus matematika, tetapi yang digunakan adalah pola pikir atau logika dalam menyelesaikan soal matematika tersebut.

Tanpa basa-basi, kali ini akan mencoba memberikan tips atau trik dalam mengerjakan soal (beberapa jenis soal matematika)

1. Berapakah bentuk sederhana dari

 
\frac{199...99}{99...995} 
 
dengan banyaknya angka 9 pada pembilang adalah sama dengan banyaknya angka 9 pada penyebut yaitu sebanyak 2011

Solusi I
Kita bisa menggunakan sedikit trik. Bentuk tersebut bisa dituliskan menjadi bentuk

\frac{2 \times 10^{2011}-1}{10 \times 10^{2011}-5}

Dan tentu saja, dengan mengeluarkan 5 pada penyebut, maka diperoleh :

\frac{2 \times 10^{2011}-1}{5(2 \times 10^{2011}-1)}

= \frac{1}{5}

Solusi II
Ini adalah teknik umum dan akan sering kita gunakan untuk pembuktian yang menyangkut suatu bilangan dengan angka yang berulang adalah sama. Seperti contoh tersebut.

\frac{199...99}{99...995}

Bentuk tersebut bisa kita tuliskan menjadi bentuk

\frac{10^{2011}+9(11...11)}{90(11...11)+5}

Banyaknya angka 1 berulang adalah sebanyak 2011
Sekarang kita perhatikan angka 1 berulang yang ada di dalam kurung. Bentuk tersebut sama dengan

\frac{10^{2011}-1}{9}

Konsepnya sebenarnya ada pada deret geometri. Berikut :

11...11=10^{2010}+10^{2009}+...+10+1

Deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 10. Ingat jumlah deret geometri, menggunakan rumus S_n untuk deret geometri, sehingga diperoleh bentuk tersebut sama dengan

11...11= \frac{10^{2011}-1}{9}

Perhatikan bentuk yang kita peroleh tadi di awal

\frac{10^{2011}+9(11...11)}{90(11...11)+5}

\frac{10^{2011}+9( \frac{10^{2011}-1}{9})}{90( \frac{10^{2011}-1}{9})+5}

\frac{2 \times 10^{2011}-1}{10 \times 10^{2011}-5}

Dan tentu saja, dengan mengeluarkan 5 pada penyebut, maka diperoleh :

\frac{2 \times 10^{2011}-1}{5(2 \times 10^{2011}-1)}

= \frac{1}{5}

Sebagai latihan, carilah bentuk sederhana dari :

\frac{177...77}{88...885}

\frac{155...55}{77...775}

\frac{133...33}{66...665}

\frac{499...99}{99...998}

\frac{166...66}{66...664}

Carilah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{44...44}
dengan angka 4 sebanyak 2012


Soal Aritmatika
Jika x+y=3 dan x^2 +y^2 =7. Nilai dari x^4 +y^4 adalah …
 
Jawaban :
(x+y)^2 =x^2 +y^2 +2xy
3^2 = 7 + 2xy
xy=1

(x+y)^4=x^4 +4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
3^4 = x^4 + y^4 + 4x^2(xy) + 4y^2(xy) + 6(xy)^2
81 = x^4 + y^4 + 4x^2(1) + 4y^2(1) + 6(1)
81 = x^4 + y^4 + 4(x^2 + y^2) + 6
81 = x^4 + y^4 + 4(7) + 6
81 = x^4 + y^4 + 34
47 = x^4 + y^4



Soal Lain 
Diketahui x+ \frac{1}{x}=1
Hitung : (x+ \frac{1}{x})^2 + (x^2+ \frac{1}{x^2})^2 + (x^3+ \frac{1}{x^3})^2 + \cdot + (x^{27}+ \frac{1}{x^{27}})^2

Jawaban
Perhatikan bahwa
(x+ \frac{1}{x})(x+ \frac{1}{x})=x^2+ \frac{1}{x^2} + 2
(1)(1)=x^2+ \frac{1}{x^2} + 2
1-2=x^2+ \frac{1}{x^2}
-1=x^2+ \frac{1}{x^2}
 
(x+ \frac{1}{x})(x^2+ \frac{1}{x^2})=x^3+ \frac{1}{x^3} + x+ \frac{1}{x}
(1)(-1)=x^3+ \frac{1}{x^3} +1
-1-(1)=x^3+ \frac{1}{x^3}
-2=x^3+ \frac{1}{x^3}
 
(x+ \frac{1}{x})(x^3+ \frac{1}{x^3})=x^4+ \frac{1}{x^4} + x^2+ \frac{1}{x^2}
(1)(-2)=x^4+ \frac{1}{x^4} -1
-2-(-1)=x^4+ \frac{1}{x^4}
-1=x^4+ \frac{1}{x^4}
 
(x+ \frac{1}{x})(x^4+ \frac{1}{x^4})=x^5+ \frac{1}{x^5} + x^3+ \frac{1}{x^3}
(1)(-1)=x^5+ \frac{1}{x^5} -2
-1-(-2)=x^5+ \frac{1}{x^5}
1=x^5+ \frac{1}{x^5}
 
Diperoleh pola
x+ \frac{1}{x}=1
x^2+ \frac{1}{x^2}=-1
x^3+ \frac{1}{x^3}=( x^2+ \frac{1}{x^2})-( x+ \frac{1}{x})=-2
x^4+ \frac{1}{x^4}=( x^3+ \frac{1}{x^3})-( x^2+ \frac{1}{x^2})=-1
x^5+ \frac{1}{x^5}=( x^4+ \frac{1}{x^4})-( x^3+ \frac{1}{x^3})=1
x^6+ \frac{1}{x^6}=( x^5+ \frac{1}{x^5})-( x^4+ \frac{1}{x^4})=2
Dan seterusnya
  
Kalau dikuadratkan tentu saja hasilnya
1+1+4+1+1+4+1+1+4+1+1+4+...+1+1+4
(sebanyak 27)
=6 \times 9=54